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神经网络为什么要归一化
作者:梁小h   日期:2015-11-20 17:23:52.0

 

 

1.数值问题。

       无容置疑,归一化的确可以避免一些不必要的数值问题。输入变量的数量级未致于会引起数值问题吧,但其实要引起也并不是那么困难。因为tansig的非线性区间大约在[-1.7,1.7]。意味着要使神经元有效,tansig( w1*x1 + w2*x2 +b) 里的 w1*x1 +w2*x2 +b 数量级应该在 1 (1.7所在的数量级)左右。这时输入较大,就意味着权值必须较小,一个较大,一个较小,两者相乘,就引起数值问题了。

       假如你的输入是421,你也许认为,这并不是一个太大的数,但因为有效权值大概会在1/421左右,例如0.00243,那么,在matlab里输入  421*0.00243 == 0.421*2.43

                                                         

可以看到两者不相等了,说明已经引起数值问题了。

 

2.求解需要

       我们建立了神经网络模型后,只要找到的解足够好,我们的网络就能够正确的预测了。在训练前我们将数据归一化,说明数据归是为了更方便的求解。

 

那么,究竟给求解带来了什么方便呢?

         这个问题不能一概而论,不同的算法,在归一化中得到的好处各不相同。假若有一个很牛B的求解算法,那完全用不着归一化,不过目前大部算法,都比较需要归一化,特别是常用的梯度下降法(或梯度下降的衍生方法),归一化和不归一化,对梯度下降法的影响非常大。不同的算法,对归一化的依赖程序不同,例如列文伯格-马跨特算法(matlab工具箱的trainlm法)对归一化的依赖就没有梯度下降法(matlab里的traingd)那么强烈。

         既然不同的算法对归一化有不同的理由,篇幅有限,本文就仅以梯度下降法举例。

        重温一下梯度法,梯度法一般初始化一个初始解,然后求梯度,再用新解=旧解-梯度*学习率 的方式来迭代更新解。直到满足终止迭代条件,退出循环。

 

先看归一化对初始化的好处:

(1)初始化

        过初始化的同学会发现,输入数据的范围会影响我们初始化的效果。例如,某个神经元的值为tansig(w1*x1+w2*x2+b),由于tansig函数只有在[-1.7,1.7]的范围才有较好的非线性,所以w1*x1+w2*x2+b的取值范围就要与 [-1.7,1.7]有交集(实际上需要更细腻的条件),这个神经元才能利用到非线性部分。

        我们希望初始化的时候,就把每个神经元初始化成有效的状态,所以,需要知道w1*x1+w2*x2+b的取值范围,也就需要知道输入输出数据的范围。

        输入数据的范围对初始化的影响是无法避免的,一般讨论初始化方法时,我们都假设它的范围就是[0,1]或者[-1,1],这样讨论起来会方便很多。就这样,若果数据已经归一化的话,能给初始化模块带来更简便,清晰的处理思路。

       注:matlab工具箱在初始化权值阈值的时候,会考虑数据的范围,所以,即使你的数据没归一化,也不会影响matlab工具箱的初始化

 

(2)梯度

        以输入-隐层-输出这样的三层BP为例,我们知道对于输入-隐层权值的梯度有2e*w*(1-a^2)*x的形式(e是誤差,w是隐层到输出层的权重,a是隐层神经元的值,x是输入),若果输出层的数量级很大,会引起e的数量级很大,同理,w为了将隐层(数量级为1)映身到输出层,w也会很大,再加上x也很大的话,从梯度公式可以看出,三者相乘,梯度就非常大了。这时会给梯度的更新带来数值问题。

(3)学习率

         由(2)中,知道梯度非常大,学习率就必须非常小,因此,学习率(学习率初始值)的选择需要参考输入的范围,不如直接将数据归一化,这样学习率就不必再根据数据范围作调整。

         隐层到输出层的权值梯度可以写成 2e*a,而输入层到隐层的权值梯度为 2e *w*(1-a^2)*x ,受 x 和 w 的影响,各个梯度的数量级不相同,因此,它们需要的学习率数量级也就不相同。对w1适合的学习率,可能相对于w2来说会太小,若果使用适合w1的学习率,会导致在w2方向上步进非常慢,会消耗非常多的时间,而使用适合w2的学习率,对w1来说又太大,搜索不到适合w1的解。

          如果使用固定学习率,而数据没归一化,则后果可想而知。

         不过,若果像matlab工具箱一样,使用自适应学习率,学习率的问题会稍稍得到一些缓和。

(4)搜索轨迹

         前面已说过,输入范围不同,对应的 w 的有效范围就不同。假设 w1 的范围在 [-10,10],而w2的范围在[-100,100],梯度每次都前进1单位,那么在w1方向上每次相当于前进了 1/20,而在w2上只相当于 1/200!某种意义上来说,在w2上前进的步长更小一些,而w1在搜索过程中会比w2“走”得更快。这样会导致,在搜索过程中更偏向于w1的方向。

                              

      抛开哪种路线更有效于找到最佳解的问题不谈,两点之间直线距离最短,这种直角路线明显会更耗时间,所以不归一化,时间会明显增加。

 

      从上面的分析总结,除去数值问题的影响,最主要的影响就是,每一维的偏导数计算出来数量级会不一致。下面我们来个试验。

3.小实验

     假设我们有两个输入变量,x1范围是[-1,1],但x2是[-100,100],输出范围是[-1,1]。x2在输入数据上没有做归一化,怎么修改训练过程,才能让训练结果如同数据归一化了一样呢。

     通过上面的讨论,我们知道x2增大了,会使w2的梯度也很大,因此我们在计算w2梯度时,需要把它的梯度除以100.才能得到它的梯度数量级与w1的一致。然后在更新w步长的时候,w1的有效取值范围(1/1)是w2的有效取值范围(1/100)的100倍,因此w2走的时候,应该以1/100的步去走。所以w2的学习率也需要除以100。

     这样,若果不考虑数值问题,会和数据作了归一化的结果是一样的。这里就不展示实验的代码了,因为需要涉及整个BP代码。有兴趣研究的同学在自己的编写的代码上动下刀。

     这是一个案例分析,说明不考虑数值问题的话,只是影响了这两个地方。假设,x2的输入范围是[100,300],那肯定不是除以100就可以了,需要更复杂一些的变换,这里不再深入纠结。

 

    为什么要归一化,对于使用梯度下降法训练的三层BP神经网络总结出的就是这些原因了。对于其他的神经网络模型,会有其它的原因,这里就不再作分析。

 

4.对使用matlab工具箱的建议

关于使用matlab工具箱需要注意的两点

  1. Matlab2012b已经会自动将输入数据归一化,所以不必再自己去做数据的预处理,直接用原始数据建立网络就可以。
  2. 但输出需要做归一化,因为工具箱计算误差的时候,使用的是原始数据的误差,因此误差数量级可能很大,这样一来梯度就很大了,在学习率还没来得及自适应减小的时候,梯度就一下子把原来初始化好的权重给吞掉了,使网络的权重掉到一个离最优解非常远的地方。所以使用matlab神经网络工具箱,而又要用梯度下降法的话,输出一定要做归一化。

           但若果用默认的trainlm法,而不是梯度下降法 traingd的话,那影响不会像 traingd这么严重,我们可以看到 trainlm(列文伯格-马跨特法) 对方向 h 的计算公式是:

                                                                      

    由于JJ和Jf的数量级不会差太多,而且由于有u的调整,最终会得到一个适当的h。

 

     3.使用matlab2012b(或以上)工具箱得到的网络权值,是面向作了归一化后的数据的。所以使用时,需要先对数据进行归一化,再将归一化后的输入数据放到网络中计算网络输出,再将输出反归一化,才是真正的预测结果。如果想把归一化过程揉合到网络的权值的话,请参考文章:<提取对应原始数据的权重和阈值>

 

5.个人见解

下面是网友关于为什么要归一化的一些回答(欢迎补充):

1.避免数值问题。

2.使网络快速的收敛。

3.样本数据的评价标准不一样,需要对其量纲化,统一评价标准

4.bp中常采用sigmoid函数作为转移函数,归一化能够防止净输入绝对值过大引起的神经元输出饱和现象 。

5.保证输出数据中数值小的不被吞食 。

 

事实上本文的研究大部分都是借鉴了网友的见解,基于这些观点进一步探讨所得,但对部分观点,本人略有不同看法:

(1)使网络快速的收敛:赞同。

(2)避免数值问题:赞同。

(3)统一量纲:本人认为这从属于业务层,与网络的训练无关。

(4)避免神经元饱和:与权值阈值相乘后,才是sigmoid的输入值,初始化得好的话,并不会饱和输出。若果使用“把权值和阈值随机初始化为[-1,1]之间的值”这种初始化方法,那不归一化就会引起神经元输出饱和现象。

(5)大数吞小数:若果我们找到适合的权值,是不会吞掉的,例如x1=10000,x2=1, 而w1=0.0001,w2=1,那么w1*x1是不会吞掉w2*x1的。

 

后语

      本文在很多细节之处,都没有作深入的讨论,一来展开这些讨论会让文章非常冗赘,失去主题。二来(也是最主要的原因),对归一化作用的研究,只能让我们更清晰归一化的好处,减少我们对归一化的疑惑,并不能促进我们更好的改进网络效果。所以本文,都仅从大方面,不十分严谨的提及归一化在训练过程各方面的好处。

      感谢大家的阅读。

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